Parallel Computation of Entries of A-1

In this paper, we are concerned about computing in parallel several entries of the inverse of a large sparse matrix. We assume that the matrix has already been factorized by a direct method and that the factors are distributed. Entries are efficiently computed by exploiting sparsity of the right-hand sides and the solution vectors in the triangular solution phase. We demonstrate that in this setting, parallelism and computational efficiency are two contrasting objectives. We develop an efficient approach and show its efficacy by runs using the MUMPS code that implements a parallel multifrontal method. Key-words: sparse matrices, matrix inverse, direct methods, direct solver, parallelism ∗ Also available as CERFACS, ENSEEIHT-IRIT, and RAL reports † Université de Toulouse, INPT(ENSEEIHT)-IRIT, France ({amestoy,frouet}@enseeiht.fr). ‡ CERFACS, 42 Avenue Gaspard Coriolis, 31057, Toulouse, France ([email protected]). § R 18, RAL, Oxon, OX11 0QX, England ([email protected]). ¶ INRIA and Université de Lyon, Laboratoire LIP (UMR 5668 – CNRS, ENS Lyon, INRIA, UCBL), France ([email protected]). ha l-0 07 59 55 6, v er si on 2 21 D ec 2 01 2 Calcul d’entrées de A-1 en parallèle Résumé : Nous considérons le calcul en parallèle de plusieurs entrées de l’inverse d’une matrice creuse de grande taille. Nous supposons que la matrice a été factorisée à l’aide d’une méthode directe et que les facteurs creux de la matrice sont distribués sur les processeurs. Les entrées de l’inverse peuvent être calculées efficacement en exploitant le fait que les vecteurs constituant les seconds membres et la solution sont creux. Nous montrons que dans ce contexte, le parallélisme et l’efficacité du calcul sont deux objectifs contradictoires. Nous développons une approche efficace et montrons son intérêt grâce à des tests utilisant le code MUMPS, qui implante une méthode multifrontale parallèle pour machines à mémoire distribuée. Mots-clés : matrice inverse, matrices creuses, méthodes directes, parallélisme ha l-0 07 59 55 6, v er si on 2 21 D ec 2 01 2 Parallel computation of entries of A-1 3